[4] 행렬의 표기법과 특수한 벡터와 행렬

1. 행렬의 표기법

전치 연산과 행 벡터, 열 벡터를 이용하면 행렬을 여러가지 형태로 표현할 수 있다.

예시) 

위의 식에서 행렬과 벡터의 크기는 다음과 같다.

 Χ ∈ Rᴺˣᴹ ()

 cᵢ ∈ Rᴺˣ¹ (i = 1, ..., M)
ｒ𝚥ᵀ ∈ R¹ˣᴹ (j = 1, ..., N)

 

 

위의 식은 다음과 같이 표현이 가능하다.

"행렬 X는 열 벡터 c₁,c₂,c₃, ..., c𝙼으로 이루어져 있다."

"행렬 X는 행 벡터  ｒ₁ᵀ,ｒ₂ᵀ,ｒ₃ᵀ , ...,ｒ𝙽ᵀ 으로 이루어져 있다."

-> 모든 벡터는 기본적으로 열벡터이므로, rᵢ를 전치 연산하여 ｒᵢᵀ으로 표현한다.

예를 들어 아래 X의 행렬은 열 벡터 c1, c2, c3가 합쳐진 것이라고 볼 수 있고,

 

아래처럼 행 벡터 r1, r2가 합쳐진 것이라고 볼 수 있다.
r1 = [1,2,3]ᵀ
r2 = [4,5,6]ᵀ

 

 

2. 특수한 벡터와 행렬

(1) 영벡터 (zero-vector)

모든 원소가 0인 N차원 벡터이다.  

 

-> numpy로 영벡터를 만들수 있다.

np.zeros((3,1))

 

 

(2) 일벡터 (ones-vector)
모든 원소가 1인 N차원 벡터이다.

 

-> numpy로 영벡터를 만들수 있다.

np.ones((3,1))

 

 

(3) 정방행렬 (square matrix)

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이다.

 

 

 

(4) 대각행렬 (diagonal matrix)
행렬에서 행과 열이 같은 위치를 주 대각(main diagonal) 또는 대각(diagonal)이라고 한다.
대각 위치에 있지 않은 것들을 비-대각(off-diagonal)이라고 한다.
모든 비대각 요소가 0인 행렬을 대각행렬이라고 한다.

 

 

비대각 성분이 0이고 대각 성분은 0이든 아니든 상관은 없다. 
또한, 반드시 정방행렬일 필요도 없다. 
아래 행렬 D도 대각 행렬이다. 

 

 

-> numpy로 대각 행렬을 만들수 있다.

 

np.diag((1,2,3,4,5))

 

 

(5) 항등행렬 (identity matrix)

대각행렬 중에서도 모든 대각 성분이 1인 행렬을 항등 행렬이라고 한다. 
보통 알파벳 대문자 𝘐로 표기한다.

 

 

넘파이에서 identity() 혹은 eye() 명령어를 사용할 수 있다.

np.itentity(3)
np.eye(3)

 

 

 

(6) 대칭행렬 (symmetric matrix)

원래의 행렬과 전치행렬이 같으면 대칭행렬이다.
※정방행렬만 대칭 행렬이 될 수 있다.