기초 통계학

기술 통계학

수집한 자료들을 정리하고 요약하여 자료가 어떤 특성을 갖고 있는지 해석하는 통계학의 한 분야

자료 요약 방법

1. 시각적인 방법(그래프)를 통한 자료 요약

2. 각종 통계 숫자를 이용한 자료의 요약

 

 

대표값 : 최빈값, 평균, 중앙값

cafedata.csv

0.00MB

                                                               -예시 데이터- 

1. 최빈값 (Mode)

(1) 줄기-잎 그림으로 확인한 최빈값 

data <- read.csv("cafedata.csv")
a <- data$Coffees
stem(a)

줄기 잎 그림

0 | 34444 0~4잔 : 3잔,4잔,4잔,4잔
0 | 5688 5~9잔 : 5잔,6잔,8잔,8잔
1 | 01134 10~14잔 : 10잔,11잔,11잔,13잔,14잔
1 | 668 15~19잔 
2 | 001123344 20~24잔
2 | 55677789 25~29잔
3 | 001112334 30~34잔
3 | 55 35~39잔
4 | 1 40~44잔
4 | 8 45~49잔

 

(2) 최빈값 출력하기 

table(a)
names(table(a))[which.max(table(a))]

2. 평균 (Mean)

- 평균은 변수의 값들의 합을 변수의 개수로 나눈 값이다.

- 이상값에 의해 값의 변동이 심하게 변할 수 있다. 

 

mean(data$Coffees)

21.51064

-> 혹시 하나의 값이 480이 되어버리면 평균이 크게 달라진다. 이것은 평균의 약점이다.

3. 중앙값(= 중위수, Median)

- 모든 데이터 값을 크기 순서로 오름차순 정렬하였을 때, 중앙에 위치한 데이터 값으로 중앙값(중위수)라고 한다. 

- 예를 들어 1, 2, 100의 세 값이 있을 때, 2가 가장 중앙에 있기 때문에 2가 중앙값이다. 값이 짝수개일 때에는 중앙값이 유일하지 않고 두 개가 될 수도 있다. 이 경우 그 두 값의 평균을 취한다. 예를 들어 1, 10, 90, 200 네 수의 중앙값은 10과 90의 평균인 50이 된다.

[R] median(data$Coffees)

23

-> 양 끝 값의 변화에 둔감하다. 이것은 중앙값의 장점이다. 

 

분산 

- 데이터가 평균으로부터 흩어진 정도

- 편차(데이터 -평균)의 합은 0이므로 편차의 제곱의 합을 이용하여 계산

- 모분산은 편차의 제곱의 합을 모집단의 수(N)으로 나누어주고, 표본분산은 표분의 수에서 1을 뺀 자유도(n-1)로 나누어 어 계산

 

* 자유도 (df = degree of freedom)
주어진 조건하에서 통계적 제한을 받지 않고, 자유롭게 변화될 수 있는 요소의 수 

예를 들어, 평균이 4이고 아래의 총 변수의 갯수가 3개일 때, 

각각 상황1,2,3처럼 2개의 변수가 주어졌을 때, 나머지 숫자는 5, 4, 3일 수 밖에 없다.

따라서, 샘플이 3개일 때, (자유롭게 지정할 수 있는) 요소의 수는 2개가 된다. 즉 n-1개가 자유도가 된다.  

상황1	3	4	?
상황2	4	4	?
상황3	5	4	?

 

 

표준편차 

- 표준편차는 분산의 양(+)의 제곱근의 값이다.

- 분산은 편차의 제곱을 했기 때문에, 원래의 수학적 단위와 차이가 발생하므로, 제곱근을 취한 갓을 표준편차로 하고, 이 값을 통하여 평균에서 흩어진 정도를 나타낸다. 

 

변동계수(CV; Coefficient of Variation)

- 상대 표준편차라고도 한다.

- 측정 단위가 서로 다른 자료의 흩어진 정도를 상대적으로 비교할 때 사용한다. 

- 표준 편차나 분산은 한 가지 자료의 산포도를 측정하는 데는 유용하지만,단위가 다른 두 자료 군의 산포도를 비교하는 데는 부적절한다. 

- 표준편차를 표본평균으로 나눈 값으로서 값이 클수록 상대적인 차이가 크다.

- 평균과 표준편차를 나누어서 단위가 없으므로 서로 다른 단위의 산포도를 비교할 수 있다. 

구분	이쑤시개	지팡이
평균	10cm	100cm
표준편차	2cm	2cm

이쑤시개 공장과 지팡이 공장에서의 생산한 제품들의 표준편차는 위처럼 2cm로 동일하다.

하지만, 이쑤시개라는 제품의 2cm 차이와 지팡이라는 제품에서의 2cm 차이는 실제로 큰 차이를 가진다. 

절대적 수치로 확인하면 비교가 어렵고, 상대적 수치로 표현한다. 

구분	이쑤시개	지팡이
변동계수	2/10 = 0.2	2/100 = 0.02

즉, 이쑤시개가 지팡이보다 상대적 변동폭이 10배 더 크다.

-> 변동계수는 자료의 상대적인 변동폭을 비교하는 측도

 

4분위수 

- 사분위수 범위는 자료들의 중간 50%에 포함되는 자료의 산포도를 나타낸다.

- 사분위 수 범위는 제 1사분위수(Q1)과 제 3사분위수(Q3) 사이의 차이이다.

순서	방법	예시
1	자료들을 오름 차순으로 정렬	1, 5, 8, 9, 13, 17 ,19
2	자료들의 중위수를 구함	7개의 자료로 홀수이므로, (7+1)/2 = 4번째 자료인 9가 중위수
3	중위수를 기준으로 좌측의 중위수(Q1)와 우측의 중위수(Q3)를 각각 구함	중위수를 기준으로 좌측(1 5 8)의 중위수 5 = Q1 / 우측 (13 17 19)의 중위수 17 = Q3을 구함
4	사분위 수 범위(IQR) = Q3 - Q1에 대입하여 IQR을 구함	IQR = 17 -5 = 12

 

왜도

종류	설명
오른쪽 편포	최빈값 < 중위수 < 평균 오른쪽꼬리 분포 왜도 > 0
왼쪽 편포	평균 < 중위수 < 최빈값 왼쪽꼬리 분포 왜도 < 0

 

a. 오른쪽 편포 (왜도>0)

예시, 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

최빈값 3 < 중위수 7 < 평균 7.1

 

b. 정규분포

예시,  2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 6 7 8  

최빈값 5 = 중위수 5 = 평균 5

 

c. 왼쪽 편포 (왜도<0)

예시, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13

평균 7.8 < 중위수 8 < 최빈값 12 

 

첨도

- 데이터의 분포가 정규 분포 곡선으로부터 위 또는 아래쪽으로 뾰족한 정도를 보여주는 값이다.

- 정규 분표는 첨도가 3이지만, 일반적으로 첨도의 정의에서 3을 뺀 0을 기준으로 하고 있다. 따라서 이 책에서도 정규 본포의 첨도를 0으로 한다.